Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu vás chcem oboznámiť s myšlienkou limít, čo je naozaj super dôležitá myšlienka.
Je to myšlienka na ktorej, všetky výpocty (derivácií a integrálov), sú založené.
Ale napriek tomu, že je to super dôležité, je to v skutočnosti naozaj jednoduché
Takže teraz nakreslím funkciu, vlastne, najprv definujem funkciu
takže, Taká jednoduchšia funkcia. Určme si f(x) - povedzme, že f(x) bude (x-1)/(x-1).
Možete si povedať, Hey, Sal, veď máme rovnakú vec v čitateli aj v menovateli.
A ak mám niečo, čo samo seba delí, to sa bude rovnať jednej! Nemôžem to zjednodušiť na f(x)=1?
A ja by som povedal, "Áno, máš takmer pravdu, rozdiel medzi f(x)=1 a touto vecou tu,"
je, že táto vec nie je definovaná, keď x=1. Takže ak - napíšem to sem- ak máme
f(1), čo sa stane? V čitateli dostaneme 1-1, čo je... iba to napíšem...
v čitateli dostaneme 0 a v menovateli dostaneme 1-1, čo je tiež 0. Takže, hocičo vydelené
nulou, aj 0/0 je nedefinované. Takže to môžeme zjednodušiť - môžeme povedať, že to je
to isté, ako keď f(x)=1, ale musíme pridať podmienku, že x sa nemôže rovnať 1. Teraz toto
s týmto je ekvivalentné. Obe sa budú rovnať 1, pre všetky ostatné x orem 1. Ale
keď x=1, je to nedefinované. Toto je nedefinované, a toto je nedefinované. Takže ako by som nakreslil graf takejto funkcie?
Takže to nakreslím... toto je y=f(x) os, a potom toto bude x - ová os, a potom, povedzme,
že toto je bod x=1, toto bude x=-1, toto je y=1, tu by mohlo byť -1, ale
to nemá s touto funkciou veľa spoločného, a teraz nakreslím graf. Takže je to podstatné,
pre všetky x okrem 1, f(x) ja bude rovnať 1. Takže to bude vyzerať nejak takto... okrem jednotky. Pre 1, f(x) nie je definované, takže
tu nakreslím menšiu medzeru, tento krúžok, aby ukazoval, že táto funkcia
nie je definovaná - nevieme, čomu sa táto funkcia v jednotke rovná, nedefinovali sme to.
Táto definícia funkcie nám nehovorí, čo robiť pri jednotke - je to skutočne nedefinované, ak x=1.
Takže toto je tá funkcia, a ešte raz, ak by sa vás niekto opýtal, čo je f(1), povedali by ste,
a povedzme, že toto je predpis tej funkcie, povedali by ste, x=1, počkať, tu je medzera v mojej funkcii
tu je nedefinovaná. Takže napíšem to znovu...no, je to trochu zbytočné, ale prepíšem to.
f(1) nie je definované. Ale čo keby som sa vás opýtal, ku čomu sa tá funkcia približuje,
keď x=1? A tu sa už začíname dotýkať myšlienky limít. Takže, ak x sa stále viac a viac približuje ku jednotke...
ku čomu sa približuje tá funkcia? Po celý tento čas, ku čomu je stále bližšie a bližšie?
Na ľavej strane, nezáleží ako blízko pôjdeme k jednotke, kým nie sme priamo na 1, tak f(x)=1
Tu, napravo, dostaneme to isté. Takže môžme povedať - a budete
viac a viac oboznámení s touto myšlienkou, keď spravíme viac príkladov - že limita, keď
x (lim, skratka pre limitu) - keď sa x blíži ku jednotke pre f(x) sa rovná...
Keď ideme bližšie, možeme sa dostať neuveriteľne, nekonečne blízko ku jednotke, kým nie sme na jednotke....
A naša funkcia sa bude rovnať jednej, ide bližšie a bližšie ku jednotke,
je vskutočnosti na jednotke po celý čas. V tomto prípade môžme povedať, že limita, keď sa x približuje ku jednotke pre f(x)
je jedna. Takže znova, má to dosť prepychový zápis, ale len hovoríme, "Takže, ku čomu sa tá funkcia približuje,
keď x je stále bližšie ku jednej?!
Urobím ďaľší príklad, kde budeme pracovať s krivkou, len abz ste mali všeobecnú predstavu.
Takže povadzme, že mám funkciu f(x) - radšej ju nazvem g(x), nej je to trochu iné.
Povedzme, že máme g(x) a rovná sa - môžme ju definovať takto, definujeme ju ako x²
keď sa x nerovná 2, a povedzme, keď x=2, rovná sa to 1. Takže znovu, taká zaujímavá
funkcia, ktorá - ako uvidíte - nie je úplne spojitá. Nakreslím graf.
Takže toto je y=f(x) os, toto je x - ová os tu. Povedzme, že toto je x=1, toto je x=2,
toto je -1, toto je -2... Takže všade, okrem na x=2 je to rovné x². Nakreslím to takto,
toto bude parabola, vyzerá nejako takto... bude vyzerať nejako takto..
Nakreslím lepšiu parabolu. Takže to vyzerá nejako takto, nie úplne najkrajšie
nakreslená parabola v histórii kreslenia parabol, ale myslím, že z toho pochopíte, ako parabola
vyzerá.. snáď. Mala by byť symetrická... Nakreslím to znova, lebo táto je nejaká škaredá
Tá vyzerá lepšie, OK, fajn, hotovo. Dobre.
Teraz, mal by to byť len graf x², ale nie je to x², keď x=2. Takže znova, keď x=2,
mali by sme tu mať trochu nespojitosti, takže tu nakreslím medzeru,
lebo, keď x=2, funkcia sa rovná 1.
Nerobím to v jednej mierke... Na grafe pre f(x)=x². toto by bolo 4, toto 2,
toto 1, toto bz bolo 3. Takže, x=2, naša funkcia sa rovná 1
Takže toto je trochu čudná funkcia, ale môžme ju takto definovať, možete funkciu definovať hocijako,
ako sa vám len páči! Teda, všimnite si, je to presne ako graf pre f(x) = x², iba keď prídete na 2,
má medzeru, lebo nepoužijete g(x)=x² keď x=2, použijete g(x)=1
Ak som hovoril f(x). tak sa za to ospravedlňujem
Použijete g(x)=1, takže presne na dvojke, spadne to dole na jednotku, a potom to pokračuje ako x²
Takže tu je zopár vecí. Ak by sme chceli nájsť hodnotu funkcie g(2)
tak sa pozrieme na túto definíciu. Ok, keď x=2, použijem túto situáciu
a to mi hovorí, že to bude rovné jednej. Spýtam sa zaujímevejšie otázky, alebo možno
zaujímavejši otázky. Čo je limita keď sa x približuje ku 2 pre g(x)? Znova prepychový zápis, ale
pýtam sa na niečo naozaj jednoduché. Hovorím, "keď x ide bližšie a bližšie ku 2...
keď ideme bližšie a bližšie - a toto nie je presná definícia, to spravíme v budúcich videách -
keď x ide bližšie a bližšie ku 2, ku čomu sa približuje g(x)? Takže ak máme 1.9, potom 1.999 a potom 1.999999
a potom 1.9999999, ku čomu sa blíži g(x)? Ak by sme šli z kladnej strany,
povedzme, 2.1, čo je g(2.1)? čo je g(2.01)? čo je g(2.001)?
Ku očmu sa to blíži, ak ku tomu ideme bližšie a bližšie??
A to môžeme vidieť aj vizuálne, keď si nakreslíme graf. Keď sa g blíži ku 2...
A my by sme to sledovali na tom grafe, vidíme, že sa blížime ku 4,
Aj keď to nie je to, kde je funkcia, funkcia tam padá na 1 - limita pre g(x) ked
sa x blíži ku dvom, je rovná 4. Toto môžete aj spraviť výpočtom na kalkulačke.
A to spravím, elbo to bude zaujímevé. Takže vytiahnem kaqlkulačku...
Vytiahnem svoju spoľahlivú TI-85.. takže, tu je moja kalkulačka.. A môžme číselne povedať,
ok, k čomu sa bude toto približovať, keď sa približujeme ku x=2? Skúsme to pre 1.9. Pre x=1.9, použijeme
tento horný výraz. Takže máme 1.9² a dostali by sme 3.61.
Fajn, a čo keď pôjdeme ešte bližšie ku 2? Takže 1.99, a opäť, umocním to,
a máme 3.96. A čo keď to urobím s 1.999?
Dostanem 3.996. Všimnite si, že sa odostávam stále bližšie a bližšie k nášmu bodu.
A keď pôjdem naozaj blízko - 1.999999999999²? Čo dostanem? V skutočnosti to nebude
presne 4 - kalkulátor to len zaokrúhlil - ale dostaneme číslo naozaj naozaj
naozaj naozaj blízko 4. A môžme spraviť niečo z kladného smeru tiež, a to v skutočnosti
musí byť to isté číslo, keď sa blížime zospodu, to ku čomu sa snažíme priblížiť sa snažíme priblížiť
a zhora, od toho, k čomu sa snažíme priblížiť. Takže ak skúsime 2.1², dostaneme 4.4...
Teraz urobím zoar krokov dopredu........
2.0001². Toto je oveľa bližšie ku 2. Teraz sa dostáveme oveľa bližšie ku 4.
Takže čím bližšie sa dostávame ku 2, tým bližšie sa zdá, že sa dostáveme ku 4.
Takže znovu, toto je číselná metóda aby sme videli, že limita keď sa x blíži ku 2, z oboch strán
pre g(x) - aj keď priamo na 2, funkcia sa rovná 1, lebo je taká nespojitá-
limita keď sa blížime ku 2, dostávame sa bližšie a bližšie ku štyrom.