Tip:
Highlight text to annotate it
X
Fibrácie ... pokračovanie
Vráťme sa späť k dvojrozmernej sfére a jej rovnobežkám.
*** každým bodom dvojrozmernej sféry
si môžeme predstaviť Hopfovu kružnicu.
Pozrime sa, čo nájdeme *** rovnobežkami na S²,
napríklad *** rovníkom.
Toto sa nachádza *** ďalšou rovnobežkou,
ktorá sa pohybuje na juh.
Prečo sa anuloid zužuje?
Pretože *** južným pólom je
samozrejme iba jediná kružnica
a *** pólom severným vidíte priamku,
ktorá je vlastne kružnicou prechádzajúcou nekonečnom. Je to červená priamka!
Poďme teraz všetko trochu pootáčať.
Otáčanie, áno, ale samozrejme,
otáčanie v štvorrozmernom priestore.
Aby som bol úprimný, musím sa priznať, že niektoré z týchto obrázkov
boli známe už dávno pred mnou.
Objav existencie štyroch systémov kružníc na anuloide
je obvykle prisudzovaný markízovi de Villarceau,
ale dajú sa nájsť aj skoršie záznamy,
napríklad na soche v štrasburskej katedrále.
Vezmime rotačný anuloid:
je to plocha vytvorená kružnicou
otáčajúcou sa okolo osi v rovine tejto kružnice.
Režme anuloid rovinou.
Všimnite si, ako zvolím rovinu rezu.
Je to dvojnásobná dotyková rovina anuloidu,
jednoducho preto, že sa dotýka v dvoch bodoch.
Teraz sa pozorne pozerajte:
rovina reže anuloid v dvoch dokonalých kružniciach.
To tvrdí Villarceauova veta:
Rezom anuloidu jeho dvojnásobnou dotykovou rovinou je dvojica kružníc.
Samozrejme neexistuje iba jediná dvojnásobná dotyková rovina anuloidu.
Tu je ďalšia, pretínajúca anuloid v ďalšej dvojici Villarceauových kružníc.
A to isté môžeme získať pre všetky ďalšie dvojnásobné dotykové roviny:
stačí iba otáčať okolo osi súmernosti.
Ako vidíte, každým bodom rotačného anuloidu
môžeme viesť štyri kružnice,
ktoré získame vhodnými rezmi.
Jedna z týchto kružníc je rovnobežka,
ďalšia je poludník,
potom prvá Villarceauova kružnica
a nakoniec druhá.
A pretože takto môžeme postupovať v každom bode anuloidu,
vidíme, že anuloid je pokrytý štyrmi sústavami kružníc.
Dve kružnice z tej istej sústavy sa nepretínajú.
Modrá kružnica pretína červenú v jedinom bode.
Žltá a biela kružnica sa pretínajú v dvoch bodoch:
sú to Villarceauove kružnice.
Dobre si prezrite žlté kružnice:
sú to Hopfove kružnice!
Pamätáte sa, ako sme uvažovali,
čo je *** rovnobežkou vo fibrácii?
Videli sme anuloid pokrytý spojenými kružnicami,
tak, ako je tento anuloid pokrytý žltými kružnicami.
A čo sú tie biele kružnice?
Sú to fibrácie ďalšej Hopfovej fibrácie!
...zrkadlový obraz prvej.
Na záver našej prechádzky
vezmeme rotačný anuloid
s jeho štyrmi sústavami kružníc;
predstavte si to na trojrozmernej sfére,
otáčajme anuloid vnútri trojrozmernej sféry,
a potom ho premietnime stereograficky
do trojrozmerného priestoru.
Týmto spôsobom získame plochy,
ktoré sú tiež pokryté štyrmi sústavami kružníc:
takzvané Dupinove cyklidy.
Niekedy, keď anuloid prechádza pólom, ktorý je stredom premietania,
sa plocha stáva nekonečnou...
V takomto prípade sa steny anuloidu môžu navzájomne vymeniť.
Vnútorná strana anuloidu je cyklámenová a vonkajšia je zelená.
Jednoduché otáčanie vo štvrtom rozmere a ... zásah!
Zelená sa zmení na cyklámenovú a cyklámenová na zelenú.
Nie je to úžasné?