Tip:
Highlight text to annotate it
X
Štvrtý rozmer
Volám sa Ludwig Schläfli.
Som švajčiarsky geometer.
Žil som v devätnástom storočí
a pokúsim sa otvoriť vám dvere do štvrtého rozmeru.
Bude to síce znieť ako samochvála, ale bol som vizionárom.
Ako jeden z prvých
som pochopil, že 9 00:00:40,700 --> 00:00:43,580 viacrozmerné priestory skutočne existujú
a ich geometria sa dá študovať.
Keď môžu bytosti žijúce v rovine
pochopiť existenciu trojrozmerného mnohostenu,
prečo by sme my nemohli poznať mnohosteny v štyroch rozmeroch?
Jedným z mojich hlavných výsledkov
bol opis všetkých pravidelných mnohostenov štvorrozmerného sveta.
Čo je štvrtý rozmer?
Bolo o ňom už napísaného mnoho,
a autorov vedecko-fantastickej literatúry asi nikdy neomrzí!
Ja budem vysvetľovať na tabuli.
Sami však uvidíte, že moja tabuľa je zázračná.
Dôležité je, aby ste sa pripravili zabudnúť
na svôj dôverne známy trojrozmerný svet
a predstavili si svet nový,
do ktorého naše oči ani ostatné zmysly nemajú priamy prístup.
Musíme byť šikovní, presne tak, ako boli obyvatelia roviny - jašteričky.
Chystám sa vyliezť na kopec,
ktorý, bohužiaľ, nevidíte
a pokúsim sa vám opísať, čo z neho vidím.
Ale predtým, než začneme, nakreslím na tabuľu priamku.
Tu označím začiatok.
Každý bod tejto priamky
sa dá určiť pomocou svojej vzdialenosti od začiatku.
Vzdialenosti priradíme zá***é znamienko, ak bod leží naľavo,
a kladné, ak leží napravo od začiatku.
Toto číslo sa obvykle označuje písmenom x
a nazýva sa x-ová súradnica.
Polohu bodu na priamke teda
môžeme určiť jediným číslom,
a preto hovoríme, že priamka má jeden rozmer.
Teraz kreslím druhú os,
kolmú na prvú os.
Každý bod v rovine tabule
je jednoznačne určený dvojicou čísel,
ktoré zvyčajne označujeme x a y: prvá a druhá súradnica.
Rovina má 2 rozmery.
Keby ste chceli vysvetliť bytosti žijúcej na priamke,
čo znamená byť bodom roviny, o čom nemá ani tušenia,
mohli by ste jednoducho povedať:
„Bod v rovine je usporiadaná dvojica čísel.“
Prejdime k tretiemu rozmeru.
Krieda teraz píše vo vzduchu
a kreslí tretiu os, ktorá je kolmá na obe predchádzajúce osi.
Bod v priestore je určený tromi číslami:
x, y a z.
Obyvateľom roviny, ktorí sa chcú zoznámiť s našim svetom,
by sme teda mohli povedať:
„Bod v priestore je iba trojica čísel.“
Prejdime ďalej, do štvrtého rozmeru.
Môžeme sa pokúsiť nakresliť štvrtú os,
ktorá by bola kolmá na predchádzajúce tri, ale to je nemožné.
Musíme preto skúsiť niečo iné.
Samozrejme by sme iba mohli povedať,
že bod v štyroch rozmeroch
nie je nič iné ako štvorica čísel: x, y, z, t.
To nám však veľmi nepomôže!
Napriek spomínaným problémom skúsme
získať aspoň predstavu o štvorrozmernej geometrii.
Na začiatok sa pokúsime
postupovať použitím ***ógie.
Tu je úsečka...
a rovnostranný trojuholník...
a napokon pravidelný štvorsten.
Naša zázračná tabuľa nám umožňuje kresliť v priestore.
Ako budeme postupovať v prípade štyroch rozmerov?
Všimnite si, že úsečka, trojuholník a štvorsten
majú postupne 2, 3 a 4 vrcholy.
Pokračujme teda ďalej, s piatimi vrcholmi!
Dajme sa do toho.
Na úsečke, v trojuholníku a štvorstene,
spája každú dvojicu vrcholov jedna hrana.
Pospájajme teda našich 5 vrcholov do dvojíc.
Spočítame:
jedna hrana,
dve, tri, štyri, 5, 6, 7, 8, 9 a 10 hrán.
Na štvorstene
každá trojica vrcholov určuje trojuholníkovú stenu.
Postupujeme rovnako,
čo nám dáva
2, 3, ..., celkom 10 stien.
Keď však chceme pokračovať v tejto ***ógii,
musíme pridať štvorsten
určený každou štvoricou vrcholov.
Takých štvoríc je 5.
Hotovo! Zostrojili sme štvorrozmerný útvar.
Budeme ho nazývať „simplex“.
Pootáčajme ho trochu v priestore,
tak, ako sme otáčali štvorsten.
Samozrejme, musíte si predstaviť, že simplex sa otáča
v štvorrozmernom priestore.
Na tabuli vidíte len jeho priemet.
Všetko ešte komplikuje skutočnosť,
že steny sa môžu pretínať.
Nuž, schopnosť vidieť štvrtý rozmer si vyžaduje istú skúsenosť.
Vezmime teraz simplex,
ktorý je v štvorrozmernom priestore,
a pohybujme ním postupne tak, aby jeho rôzne rezy
ležali v „našom“ trojrozmernom priestore.
Tak isto ako obyvatelia roviny
videli mnohouholníky, ktoré sa objavovali a strácali,
my uvidíme 3-rozmerný mnohosten,
ako sa objaví, zmení svoj tvar, a potom sa stratí.
Tu je simplex prechádzajúci našim trojrozmerným priestorom.
Teraz sa stretneme s ďalšími
štvorrozmernými mnohostenmi
prechádzajúcimi našim trojrozmerným svetom.
Tu je hyperkocka, člen postupnosti, ktorá sa začína
úsečkou a pokračuje štvorcom a kockou.
Musím priznať, že získať geometrickú predstavivosť
pomocou takejto metódy je pomerne zložité.
Objavil som ***ógie dvadsaťstenu a dvanásťstenu.
Majú zložité názvy,
ale ja ich nazývam jednoducho len 120-nadsten a 600-nasten,
protože jeden má 120 a druhý 600 nadstien.
Pozrite sa na 120-nadsten, ako prechádza našim priestorom.
A teraz je tu 600-nadsten.
Nezabudnite, že keď hovorím, že tento útvar má 600 nadstien,
mám na mysli trojrozmerné nadsteny.
Áno, týchto 600 nadstien je 600 štvorstenov.
Rovnako je to v prípade 120-nadstena, ktorý pozostáva zo 120 dvanásťstenov!
O chvíľu uvidíme, ako sa s nimi môžeme lepšie zoznámiť.
Pri pozorovaní štvorrozmerných objektov
našimi trojrozmernými očami
môžeme skúmať len ich tiene.
Objekty sú stále v štvorrozmernom priestore,
ale premietajú sa do nášho trojrozmerného priestoru,
úplne tak isto, ako maliar zobrazuje krajinu na plátno.
Presne to sme práve urobili so simplexom.
Tu je hyperkocka.
Necháme ju samozrejme otáčať sa v priestore,
aby sme mohli vychutnať všetky detaily.
Všimnite si, napríklad, že hyperkocka má 16 vrcholov.
A teraz prichádza nováčik.
Je to jeden z mojich najkrajších objavov.
Útvar, ktorý nazývam 24-nadsten,
nemá žiadnu ***ógiu v troch rozmeroch.
Je to výlučne štvorrozmerný objekt.
Na svoj objav som veľmi hrdý.
Vidíte, aký je nádherný!? 24 vrcholov, 96 hrán, 96 trojuholníkov a 24 osemstenov.
Skutočný malý drahokam!
Tu je tieň 120-nadstenu
v celej svojej majestátnosti.
Musíte uznať, že je to pomerne zložitý objekt.
Poďme dovnútra a pozrime sa na jeho štruktúru.
Hľa: 600 vrcholov, 1200 hrán.
V každom vrchole sa stretávajú 4 hrany.
Celkom pravidelná štruktúra.
Všetky vrcholy a všetky hrany majú rovnakú úlohu.
Škoda, že priemetom sa symetria naruší.
Nechajme teraz trochu popracovať vašu predstavivosť.
Predstavte si objekt v štvorrozmernom priestore,
v ktorom mohutná grupa otáčaní
permutuje (navzájom zamieňa) všetky tieto vrcholy a hrany.
Šampiónom je .. 600-nadsten!
Obrovská makromolekula
s 720-timi hranami a 120-timi vrcholmi,
a 12-timi hranami stretávajúcimi sa v každom vrchole.
Naše objavovanie štvorrozmerných útvarov
sa tu nekončí.
Pozrieme sa na ich stereografické priemety,
ktoré, ako sa zdá, nám umožnia lepšie pochopiť ich geometriu.