Tip:
Highlight text to annotate it
X
Komplexné čísla
Som Adrien Douady.
Moje celoživotné matematické dielo
bolo zamerané na komplexné čísla.
Moje príspevky pomohli rozvinúť nielen algebrickú geometriu,
ale aj teóriu dynamických systémov.
Komplexné čísla majú dlhú históriu.
Tu vľavo vidíte Tartagliu a Cardana,
pionierov matematiky z obdobia renesancie.
Napravo sú Cauchy a Gauss,
ktorí teóriu v priebehu devätnásteho storočia postavili na pevné základy.
Komplexné čísla nie sú v skutočnosti také zložité,
ako by sa mohlo zdať podľa ich názvu!
Najprv sa nazývali „nemožné čísla“,
a aj dnes se im hovorí „imaginárne“.
Je naozaj pravdou, že si vyžadujú trochu predstavivosti …
Napriek tomu sú dnes potrebné vo všetkých odboroch vedy
a už dávno nie sú záhadné.
Práve vďaka nim sa dajú napríklad
vytvárať prekrásne fraktálové množiny,
na čom som kedysi veľa pracoval.
Vytvoril som dokonca film „Dynamika potkana“,
ktorý bol jedným z prvých animovaných matematických filmov.
Začnem s vysvetľovaním komplexných čísel na tabuli.
Matematici jednoducho milujú písanie kriedou ...
O chvíľu uvidíte, že moje pravítko, trojuholník a uhlomer
sa občas správajú, povedzme ... zvláštne.
Nakreslime na tabuľu priamku so stupnicou.
Jednou z najkrajších matematických myšlienok
je nápad spojiť geometriu s algebrou.
To je začiatok analytickej geometrie.
Tak isto ako vieme sčítavať čísla, vieme sčítavať aj body.
Tu je červený bod na priamke, tu modrý.
Sčítajme ich.
Získali sme zelený bod! Jedna plus dva sa rovná tri!
Keď sa červený a modrý bod pohybujú,
zelený bod, ktorý je ich súčtom, sa musí pohybovať tiež.
Zaujímavejšie je násobenie bodov.
Pozrime sa napríklad na násobenie bodom -2.
Transformuje, samozrejme, bod 1 do bodu -2.
A keď násobíte číslom -2 ešte raz,
musíte urobiť to isté:
vymeniť strany vzhľadom na začiatok
a zdvojnásobiť vzdialenosť od začiatku.
Dostanete, samozrejme, 4.
Takže ak násobíme dvakrát číslom -2,
je to to isté, ako keby sme vynásobili číslom 4.
Násobenie číslom -1 je veľmi jednoduché.
Každý bod sa zobrazí do bodu,
ktorý je s ním súmerný podľa začiatku.
Inými slovami, otočíme ho o priamy uhol,
alebo ak chcete, o uhol veľkosti 180 stupňov.
Keď vynásobíme číslo samo sebou,
dostaneme vždy kladné číslo.
Napríklad, keď násobíme číslom -1,
vykonáme polotočku,
takže keď to urobíme znova,
vrátime sa naspäť.
Preto sa -1 krát -1 rovná +1.
Celkom jednoduché.
Vidíte napríklad, že násobenie číslom -1
pošle číslo 2 do čísla -2
a ak násobíte znovu číslom -1,
vrátite sa späť na číslo 2.
Zrejmé, však?
Takže neexistuje číslo,
ktoré by sa po vynásobení samým sebou rovnalo -1.
Inak povedané: -1 nemá druhú odmocninu.
Teraz sme však podcenili
vynaliezavosť matematikov!
Na začiatku devätnásteho storočia dostal Robert Argand vynikajúci nápad.
Povedal si: „Keď je násobenie číslom mínus jeden
otočením o uhol veľkosti 180 stupňov,
odmocnina z mínus jeden bude otočenie o uhol, ktorého veľkosť je polovica zo 180 stupňov: 90 stupňov.
Keď urobím dve štvrťotočky za sebou,
skončím otočený o polootočku!
Druhá mocnina štvorotočky je polotočka, teda mínus jeden.“
Znie to jednoducho, keď to už viete!
Argand teda usúdil, že druhá odmocnina z čísla -1
je reprezentovaná bodom, ktorý je obrazom jednotky otočenej o uhol veľkosti 90 stupňov.
To nás, samozrejme, donúti opustiť priamku,
keďže sme sa práve dohodli, ako priradiť číslo
bodu roviny, ktorý nie je na priamke!
Pretože je táto konštrukcia mierne nezvyčajná,
hovoríme, že odmocnina z -1 je imaginárne číslo,
ktoré v matematike označujeme písmenom i.
Akonáhle sme však našli dosť odvahy opustiť priamku,
všetko ostatné je jednoduché.
Môžeme reprezentovať 2i, 3i, a tak ďalej ...
Každý bod v rovine zastupuje komplexné číslo
a obrátene, každé komplexné číslo definuje bod v rovine.
Body v rovine se stali právoplatnými číslami!
Môžeme ich sčítavať, tak ako obyčajné čísla.
Pozrite sa na červený bod, čo je 1+2i.
Pripočítajme k nemu 3+i, to je modrý bod.
Môžete ich sčítať,
tak, ako to robia deti na základnej škole,
a dostanete 4+3i.
Z geometrického hľadiska sme iba sčítali vektory.
Ako vidíte, sčítanie komplexných čísel nie je žiadny problém.
Omnoho zaujímavejšie je,
že komplexné čísla môžeme aj násobiť,
tak ako reálne čísla.
Poďme sa na to pozrieť.
Už vieme, ako vynásobiť komplexné číslo napríklad dvoma.
Dvakrát 1+i dáva
2+2i.
Aj z geometrického hľadiska je násobenie dvoma jednoduché:
Je to iba dvojnásobné zväčšenie.
Keď vynásobíme červený bod, dostaneme zelený bod!
Násobenie číslom i tiež nie je zložité,
pretože vieme, že zodpovedá otočeniu o štvrtinu otočky.
Aby sme vynásobili 3+i krát i,
jednoducho otočíme bod okolo začiatku o štvrtinu plného uhla
a dostaneme -1+3i.
Zdá sa, že komplexné čísla nie sú až také zložité!
A na záver dokážeme vynásobiť dve ľubovoľné komplexné čísla
bez akýchkoľvek problémov.
Skúsme napríklad vynásobiť 2 + 1,5i a -1 + 2,4i.
Budeme postupovať ako zvyčajne,
najprv vynásobíme dvoma a potom 1,5i, potom sčítame výsledky.
Takže dostávame:
„Dvakrát atď ...“
čo je
-2 + 4,8i - 1,5i + 3,6i krát i.
Teraz si spomenieme, že i krát i je -1,
veď práve za tým účelom sme si vymysleli i!
To dáva:
-2 ... -3,6
Trochu to poupratujeme. Máme
-2 - 3,6 + 4,8i - 1,5i,
to je
-5,6 + 3,3i.
Máme to,
vieme násobiť komplexné čísla.
Inými slovami, vieme násobiť body v rovine!
To je úžasné!
Mysleli sme si, že rovina je dvojrozmerná,
pretože potrebujeme dve čísla
na určenie polohy bodu,
ale teraz vám vravím, že stačí iba jedno!
Samozrejme, zmenili sme naše čísla
a teraz pracujeme s číslami komplexnými.
Je asi pravý čas definovať dva nové pojmy:
absolútna hodnota a argument komplexného čísla.
Absolútna hodnota komplexného čísla z
je vzdialenosť bodu roviny reprezentujúceho z od začiatku súradnicovej sústavy.
Použijeme pravítko na určenie absolútnej hodnoty červeného bodu,
ktorý je obrazom čísla 2 + 1,5i.
Pozrime sa na to: namerali sme 2,5.
Absolútna hodnota čísla 2+1,5i je teda 2,5.
Pre modré body dostávam 2,6.
A pre zelený bod,
ktorý je súčinom týchto dvoch bodov,
dostávam 6,5.
Platí pravidlo: Absolútna hodnota súčinu dvoch komplexných čísel
je súčinom absolútnych hodnôt týchto dvoch čísel.
Argumentom komplexného čísla
je veľkosť uhla, ktorý zviera kladná reálna polos
a polpriamka spájajúca začiatok s daným bodom.
Napríklad argument červeného komplexného čísla
je 36,8 stupňov.
Argument modrého bodu je 112,6 stupňov.
A pre ich súčin, zelený bod, dostávame argument 149,4 stupňov,
čo je súčet argumentov oboch činiteľov ...
Keď násobíme dve komplexné čísla,
absolútne hodnoty sa násobia a argumenty sa sčítavajú.
Ukončime teraz naše prvé stretnutie s komplexnými číslami
stereografickou projekciou.
Predstavme si guľovú plochu (sféru) dotýkajúcu sa tabule v začiatku.
Použitím stereografickej projekcie
každému bodu na tabuli,
teda každému komplexnému číslu,
priradíme bod na guľovej ploche (sfére).
Iba severný pól sféry,
čiže pól, z ktorého premietam,
nemá priradené žiadne komplexné číslo.
Hovoríme, že zodpovedá nekonečnu.
Preto matematici hovoria, že guľová plocha (sféra)
je komplexná projektívna priamka.
Prečo priamka?
Pretože potrebujeme iba jedno číslo, aby sme opísali jej body!
Prečo komplexná?
Pretože toto číslo je komplexné.
Prečo projektívna?
Pretože sme jej pomocou projekcie pridali bod v nekonečne.
Nie sú matematici čudáci,
keď sa nám snažia nahovoriť, že guľová plocha (sféra) je vlastne priamka?